趣味数学ばかりやっていて、高校数学の力が確実に落ちてるなと感じています。なので最近は高校数学の問題も解くようにしていて、ブログの内容もしばらく高校数学にしようかと考えています。 それで、今回は対数関数の公式について軽く話します。高校の教科書…

先にことわっておくと、今回の内容は重大な誤りを含んでる、または無意味な内容である恐れがあります。今回の内容に大きく関連する次の記事についても、同様である恐れがあります。 natsu1014-brog.hatenablog.com さて、前回、二面角という概念を使って、存…

数カ月放置していたブログだったが、春休みに入ってからモチベーションが上がり、一週間あまりで既に 15 回も更新しています。あまり洗練された内容は書けていないが、このブログを目にした人に少しでも面白いと思える内容に出会ってほしいと思い、二月更新…

正多面体は 5 種類しか存在しません。一方、正多角形は無限に存在します。 では、4 次元版正多面体といえる正多胞体は何種類存在するのだろうか？ 念のため説明すると、4 次元空間の立体は 3 次元空間の立体（胞）により構成されます。立体は面、面は線によ…

前回、高校で習う代表的な順列・組合せを見てきました。 natsu1014-brog.hatenablog.com 今回はより難しい問題について、スターリング数やベル数と呼ばれるものを使って考えていきます。 [補足(2021/02/21)] ちなみにスターリング数の「スターリング」は、階…

今回から順列・組合せの求め方を紹介していきます。なぜそんな初歩的なところから始めるかというと、ベル数とスターリング数について書きたいと思ったのですが、それらが組合せにおいて意味を持つため、基礎から順を追った方が良いと思ったからです。 今回は…

円周率はいくらと聞かれれば、当然 3.14... や π と答えるでしょう。 しかし、中には π の代わりに τ を円周率に採用すべきだと考える人もいます。τ とは π を 2 倍した値です。 なぜ π より τ がよいのだろうか。それは公式などがより本質的または直感的に…

ガンマ関数により階乗を複素数全体に拡張でき、それにより''(1/2)!=√π''を得ることが出来たわけですが、せっかくなら複素数の階乗も計算したいものです。 ということで、純虚数の階乗を（可能な範囲で）計算してみました。(z)!=Γ(z+1) なので、Γ(ni+1) を計…

cos(z)=1+i の解をしばらく前に計算したことをふと思い出したので、改めて計算してみました。計算結果に黄金比 φ が現れるのがお気に入りです。 なお、z の実部を x, 虚部を y とし、0≦x<2π としています。 WolframAlphaで計算すると、arccos(1/φ)=0.9045568…

今回はガンマ関数、リーマンゼータ関数、そして素数計数関数について軽くまとめました。ただ、また想定以上に長くなり、画像の準備が大変になったので、画像に直接説明を書きました。 まずガンマ関数です。これは、非負整数に定義される階乗を複素数の範囲に…

前回はこちら。 natsu1014-brog.hatenablog.com 今回は前回紹介したクヌースの矢印表記やアッカーマン関数よりも強い表記法・関数を紹介します。 最初に紹介するのはコンウェイのチェーン表記と呼ばれるもので、次のようなものです。 (1)' は a→b→1 の →1 を…

前回はこちら。 natsu1014-brog.hatenablog.com 前回までは巨大数詐欺だったので、今回からしっかり巨大数を紹介していきます。まずは既に登場したクヌースの矢印表記について話します。クヌースの矢印表記とは、ハイパー演算子と次のような関係にありました…

加法から始める巨大数・中編 i↑↑∞、2^x=x^2の解 - NTMRの数学メモ 上の記事で扱った i↑↑∞ すなわち i^i^i^… の値について、もう少し考えてみます。 i↑↑∞=W((-π/2)i)/(-π/2)i であることは分かったので、その値を x+iy (x, y は実数) とおきます。 すると、z …

前編はこちら。 natsu1014-brog.hatenablog.com 前編では x↑↑∞ の値を表すためにランベルトのＷ関数が必要だというところまでいきました。 ランベルトのＷ関数とは y=xe^x の逆関数で、y=W(x) と表されます。そしてグラフはこのようになります。 点は (-1/e,…

今回からは関数に焦点をおいて巨大数について紹介します。「三角関数から始める複素関数」の最後で前後編に分けると書きましたが、意外と長くなったので前中後編に分けることにします。 そのために、まずハイパー演算子というものを定義します。ハイパー演算…

前編の続きなので、まだの方は是非そちらから。 natsu1014-brog.hatenablog.com さて、今回は変数が複素数の三角関数について考えていきます。 今回も、前回紹介したマクローリン展開が必要になっていきます。参加右関数のマクローリン展開は次のようになり…

だいぶ前ですが、一様な質量 m, 長さ l の紐を中心で細い釘に引っかけて、一端に質量 M のおもりをつけたときの、紐が落ちた距離 x を時間 t で表しました（gは重力加速度）。せっかく計算したので、記録としてブログに残しておきます。 微分方程式を使わな…

しばらく数学をやっておらず、めちゃくちゃ久しぶりの更新です。 僕は高校範囲外から片足はみ出したような内容で遊ぶことが多いのですが、その主な理由はそこまで難しくない範囲で「数学のトリビア」を知ることが出来るからです。単に、これより難しい話を僕…