i^i^i^…の値

加法から始める巨大数・中編 i↑↑∞、2^x=x^2の解 - NTMRの数学メモ

　上の記事で扱った i↑↑∞ すなわち i^i^i^… の値について、もう少し考えてみます。

　i↑↑∞=W((-π/2)i)/(-π/2)i であることは分かったので、その値を x+iy (x, y は実数) とおきます。

　すると、z の実部・虚部とW(z) の実部・虚部の関係式も分かっているので、まず実部についての等式を変形すると、y を x で表すことが出来ます。

　さらに虚部についての等式にコレを代入すると、x についての方程式が得られます。

　これを満たす x が i↑↑∞ の実部となります。そして、それを y=xtan((π/2)x) に代入すると虚部が求まります。

　最後から二行目がかなりランベルトのＷ関数が使える形に近いのですが、惜しかったです。ではまた。