正の実数 に対して が成り立ちます。ここで、自然対数の底 を と定義し、これが極限による定義 と同値であることを確かめます。 の における微分係数は より です。ここで、微分の定義より、 より であるので、 となります。 逆に と定義すると、 ここで で…

対数関数による積分の定義は、指数が無理数の時の指数関数を極限により定義しなくて済みますが、一方で今のままでは底が に固定されています。ですので、任意の底に対して指数関数・対数関数を定義したいです。 そこで を と定義します。すると、次の指数関…

ガンマ関数やベータ関数などの関数は積分で定義されることは有名ですが、Twitterで（ を底とする）対数関数も積分により定義され、指数関数はその逆関数として定義されることがあるという話を見かけたので、それについて少し考えてみようと思います。 まず、…

趣味数学ばかりやっていて、高校数学の力が確実に落ちてるなと感じています。なので最近は高校数学の問題も解くようにしていて、ブログの内容もしばらく高校数学にしようかと考えています。 それで、今回は対数関数の公式について軽く話します。高校の教科書…

cos(z)=1+i の解をしばらく前に計算したことをふと思い出したので、改めて計算してみました。計算結果に黄金比 φ が現れるのがお気に入りです。 なお、z の実部を x, 虚部を y とし、0≦x<2π としています。 WolframAlphaで計算すると、arccos(1/φ)=0.9045568…

前編の続きなので、まだの方は是非そちらから。 natsu1014-brog.hatenablog.com さて、今回は変数が複素数の三角関数について考えていきます。 今回も、前回紹介したマクローリン展開が必要になっていきます。参加右関数のマクローリン展開は次のようになり…

しばらく数学をやっておらず、めちゃくちゃ久しぶりの更新です。 僕は高校範囲外から片足はみ出したような内容で遊ぶことが多いのですが、その主な理由はそこまで難しくない範囲で「数学のトリビア」を知ることが出来るからです。単に、これより難しい話を僕…

三角関数は初め、直角三角形による定義で学んだと思います。そのときは定義域が0<θ<π/2でした。しかし、単位円による定義を行うことで、定義域を実数全体に拡張できます。 では、次は定義域を複素数全体に拡張できないでしょうか？ ということで、今回のテー…

お久しぶりです。だいぶブログを更新せずに放置してしまいました。というのも、数学をやる時間が減ったことに加え、面白い話題が見つからなかったのです。 今回ようやくブログを再開したのは面白い話題が見つかったわけではなく、このブログを勉強した内容を…

なつまれの一日は一問の数学から始まる．．．というわけではないけど、昨夜WolframAlphaで見つけた不定積分を載せます。今回はそれだけです。ちなみに自力で解いた部分は０です笑 この証明で一番難しいのは1/(t⁴+1)の部分分数分解だと思います。t⁴+1の因数分…

前回の最後に、次はテトレーションについて書くと言っていましたが、別のものに興味が湧いたので今回はそれについて書きます。参考にした主なWikipedia記事はこちら。 指数積分 - Wikipedia 数Ⅲの積分を習った方は、慣れてきた頃にこのような疑問を持ちませ…