自然数 に対して不定方程式 の整数解 の１つを、行列を用いて求める方法について考えます。 前半は高校数学で扱うように、ユークリッド互除法を用います。 【前半】 とおくと, ある非負整数 が存在して, が成り立つ. すなわち, 整数 に対して より であるか…

オイラー関数の公式を証明したことなかったなと思ったので、証明します。多分あってると思うけど、間違ってたらすみません。 これは次のように証明します。 残りは簡単です。 これは次のように証明します。 これらを合わせると次のことが分かります。簡単な…

正の実数 に対して が成り立ちます。ここで、自然対数の底 を と定義し、これが極限による定義 と同値であることを確かめます。 の における微分係数は より です。ここで、微分の定義より、 より であるので、 となります。 逆に と定義すると、 ここで で…

対数関数による積分の定義は、指数が無理数の時の指数関数を極限により定義しなくて済みますが、一方で今のままでは底が に固定されています。ですので、任意の底に対して指数関数・対数関数を定義したいです。 そこで を と定義します。すると、次の指数関…

ガンマ関数やベータ関数などの関数は積分で定義されることは有名ですが、Twitterで（ を底とする）対数関数も積分により定義され、指数関数はその逆関数として定義されることがあるという話を見かけたので、それについて少し考えてみようと思います。 まず、…

Wikipediaのオイラーのφ関数のサイト（オイラーのφ関数 - Wikipedia）に という不等式があり、面白いと思ったので証明してみました。証明してるサイトが見つからなかったので、誤りがあったらすみません。 なお、最後の方で以下のことを使いました。 という…

かなり初期に や を素数 で割り切れる回数について書いたのですが、かなり気に入ってるのでもう少し読みやすくできないかと思い、改めて紹介します。以下のことは認めることにしてください。 任意の素数 、 自然数 について、 ならば、 ある自然数 が存在し…

関数についてとりとめのないことをアレコレ考えて、何となくブログを書きたくなったので大した内容ではないですが書きなぐろうかと思います。 関数の分類の話 初めはある程度テーマを絞ろうと思い、関数の分類を整理するブログを書いていたのですが、思った…

かなり過去の記事で というのを考えていました。 natsu1014-brog.hatenablog.com 最終的に を得て、これは となるのではないかという予想をしたのですが、結局証明できないままになっていました。しかし昨夜、ふと思い出して考察したところやや進展(？)があ…

お久しぶりです。少し近況報告をします。最近はあまり趣味数学をせず、高校数学の復習に没頭しています。一方で、ようやく数研出版の『大学教養 微分積分』を購入し、今さっき第一章を読み終わったところです。 一応他にも大学の微積の本は二冊持っているの…