正の実数 に対して が成り立ちます。ここで、自然対数の底 を と定義し、これが極限による定義 と同値であることを確かめます。 の における微分係数は より です。ここで、微分の定義より、 より であるので、 となります。 逆に と定義すると、 ここで で…

対数関数による積分の定義は、指数が無理数の時の指数関数を極限により定義しなくて済みますが、一方で今のままでは底が に固定されています。ですので、任意の底に対して指数関数・対数関数を定義したいです。 そこで を と定義します。すると、次の指数関…

ガンマ関数やベータ関数などの関数は積分で定義されることは有名ですが、Twitterで（ を底とする）対数関数も積分により定義され、指数関数はその逆関数として定義されることがあるという話を見かけたので、それについて少し考えてみようと思います。 まず、…