NTMRの数学メモ

数学について調べたことを書きます。高校数学に毛が生えた内容。

積分による対数関数の定義（３）

三角関数・指数対数関数

　正の実数 $a$ に対して $\exp_a 1 = \exp (\log a) = a$ が成り立ちます。ここで、自然対数の底 $e$ を $e := \exp 1$ と定義し、これが極限による定義 $e:= \displaystyle \lim_{h→0} (1+h)^{\frac{1}{h}}$ と同値であることを確かめます。

　 $\log x$ の $x=1$ における微分係数は $\frac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x}$ より $1$ です。ここで、微分の定義より、

$\displaystyle \lim_{h→0} \frac{\log (1+h) - \log 1}{h} \\ = \displaystyle \lim_{h→0} \log ( \exp_{1+h}{\frac{1}{h}} )$

　 $e=\exp 1$ より $\log e =1$ であるので、 $e = \displaystyle \lim_{h→0} \exp_{1+h}{\frac{1}{h}}$ となります。

　逆に $e:=\displaystyle \lim_{h→0} \exp_{1+h}{\frac{1}{h}}$ と定義すると、

$\log e \\ = \displaystyle \lim_{h→0} \log ( \exp_{1+h}{\frac{1}{h}} ) \\ = \displaystyle \lim_{h→0} \frac{\log (1+h)}{h}$

　ここで $\frac{x}{1+x} \leq \log (1+x) \leq x$ であるから（証明略）、

$\displaystyle \lim_{h→0} \frac{\frac{h}{1+h}}{h} \leq \displaystyle \lim_{h→0} \frac{\log (1+h)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h→0} \frac{h}{h}$

となるので、はさみうちの原理より $\displaystyle \lim_{h→0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1$

　すなわち $\log e =1 \, \therefore e= \exp 1$