対数関数による積分の定義は、指数が無理数の時の指数関数を極限により定義しなくて済みますが、一方で今のままでは底が に固定されています。ですので、任意の底に対して指数関数・対数関数を定義したいです。
そこで を と定義します。すると、次の指数関数の性質
を満たすことが証明できます。
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また、このように定義した が一般的な定義の指数関数 と一致することは容易に確かめられます。
底が 以外の対数関数も考えるために の逆関数を求めると となります。よって と定義すると、これは次の性質
を証明できます。
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