NTMRの数学メモ

数学について調べたことを書きます。高校数学に毛が生えた内容。

積分による対数関数の定義(2)

 対数関数による積分の定義は、指数が無理数の時の指数関数を極限により定義しなくて済みますが、一方で今のままでは底が  e に固定されています。ですので、任意の底に対して指数関数・対数関数を定義したいです。

 そこで  \exp_a{x}(=a^x) \exp_a{x} := \exp{(x \log{a})} と定義します。すると、次の指数関数の性質

  (5) \, \exp_{exp_a{b}}{c} = \exp_a{bc} \hspace{7pt} ( a は正の実数; b,c は実数)

  (6) \, \exp_a{c} \cdot \exp_b{c} = \exp_{ab}{c} \hspace{7pt} ( a,b は正の実数; c は実数)

  (7) \, \log ( \exp_a b) = b \log a \hspace{7pt} ( a は正の実数 ; bは実数)

を満たすことが証明できます。

 (5) の証明

  \exp_{exp_a{b}}{c} \\ = \exp(c \log(\exp_a{b})) \\ = \exp(c \log(\exp(b \log{a}))) \\ = \exp(cb \log{a}) \\ = \exp_a{bc}

 

 (6) の証明

 \exp_a c \cdot \exp_b c \\ = \exp ( c \log a ) \cdot \exp ( c \log b ) \\ = \exp ( c \log a + c \log b) \\ = \exp ( c \log ab) \\ = \exp_{ab} c

 

 (7) の証明

 \log ( \exp_a b) \\ = \log ( \exp (b \log a)) \\ =  b \log a

 また、このように定義した  exp_a x が一般的な定義の指数関数  a^x と一致することは容易に確かめられます。

 底が  e 以外の対数関数も考えるために  y = \exp_a x逆関数を求めると  y = \frac{\log x}{\log a} となります。よって  \log_a {x} := \frac{\log x}{\log a} と定義すると、これは次の性質

  (8) \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \hspace{7pt} (a,b,c は正の実数; a,c≠1)

を証明できます。

 (8) の証明

 \log_a b \\ = \frac{\log b}{\log a} \\ = \frac{\log b / \log c}{\log a / \log c} \\ = \frac{\log_c b}{\log_c a}