NTMRの数学メモ

数学について調べたことを書きます。高校数学に毛が生えた内容。

オイラーのφ関数の公式

 オイラー関数の公式を証明したことなかったなと思ったので、証明します。多分あってると思うけど、間違ってたらすみません。

f:id:Natsu1014_brog:20210325001437p:plain

 これは次のように証明します。

f:id:Natsu1014_brog:20210325001538p:plain

 残りは簡単です。

f:id:Natsu1014_brog:20210325001621p:plain

 これは次のように証明します。

f:id:Natsu1014_brog:20210325001641p:plain

 これらを合わせると次のことが分かります。簡単なので証明は省略します。

f:id:Natsu1014_brog:20210325001713p:plain

 これで終わりですが、蛇足程度に  \phi (n) {\rm ABC} 予想で登場する  {\rm rad} (n) を使うと次のように表すこともできます(nは上記の n です)。証明は省略します。

f:id:Natsu1014_brog:20210325002008p:plain

 この表現自体はどうでもいいのですが、右辺の  \phi ( {\rm rad} (n)) は具体的に

   \phi ( {\rm rad} (n)) = (p_1-1)(p_2-1)(p_3-1) \cdots (p_k-1)

となりますね。それだけです。ではまた。