NTMRの数学メモ

数学について調べたことを書きます。高校数学に毛が生えた内容。

第一同型定理までの要点まとめ

その他

　「代数学１群論入門」の第二章を読み終わり、理解の怪しいところもありますが、とりあえず忘れる前に概要を整理したいと思います。

 


　群というのはある条件を満たした、集合 Gと G 上で定義される演算 \cdot のペア(G, \cdot ) のことで、ある条件とは①結合法則②逆元の存在③単位元の存在の３つです。集合における部分集合のように、群においては部分群が定義できます。

　 =, \leq, \subset のような集合の 2 つの元に対して定義される関係（関係の定義は省略）のうち、①反射律②対称律③推移律を満たすものを同値関係といいます。 \sim を集合 A 上で定義される同値関係としたとき、 x \in A に対して C(x)= \{ x \in A \vert x \sim  y \} を x の同値類といいます。 A の部分集合で x \in A に対して C(x) と表されるもの全体の集合を A の \sim による商といい A / \sim と書きます。
　 \sim を特に、 G を群、 H を G の部分群として、 x,y \in G  に対して x^{-1}y \in H ならば x \sim y と定義したとき、 x \in G の同値類を x の H による左剰余類と呼び xH と書きます。また、 G のこの同値関係による商を G / H と書きます。同様に、 yx^{-1} \in H ならば x \sim y と定義した場合には x \in G の同値類を x の H による右剰余類と呼び Hx と書き、また、 G のこの同値関係による商を H \backslash G と書きます。

　 H を群 G の部分群として、任意の g \in G, h \in H に対して ghg^{-1} \in H のとき H を G の正規部分群といいます。 N が G の正規部分群であるとき、任意の g \in G に対して gN=Ng となります。また、 G/N 上の演算を g_1,g_2\in G に対して (g_1N)(g_2N)=g_1g_2N と定義すると G/N はこの演算に関して群となります。

　 G,H を群として写像 \phi : \, G \to H が、任意の g_1,g_2 \in G に対して  \phi (g_1g_2)= \phi (g_1) \phi (g_2) となるとき \phi を準同型写像といいます。この準同型写像の逆写像も準同型写像のとき \phi を同型写像といい、同型写像 \phi: \, G \to H が存在するならば G と H は同型であるといいます。準同型写像 \phi が全単射であるとき \phi は同型写像となります。
　 G,H を群とすると、準同型 \phi : \, G \to H に対して {\rm Ker}( \phi )= \{ g \in G \vert \phi (g)=1_G \} を  \phi の核といい、 { \rm Im}(\phi)= \{ \phi (g) \vert g \in G \} を \phi の像といいます。 {\rm Ker}( \phi ) は G の正規部分群、 {\rm Im}( \phi ) は H の部分群となります。したがって G/{\rm Ker}( \phi ) は群となります。
　写像 \pi: \, G \to G/{\rm Ker}( \phi ) を x \in G に対して \pi (x)=x{\rm Ker}( \phi ) と定義すると、同型 \psi: G/{\rm Ker}( \phi ) \to {\rm Im}( \phi ) が存在して G/{\rm Ker}( \phi ) は {\rm Im}( \phi ) と同型となります（第一同型定理）。特に \phi が全射のとき H={\rm Im}(\phi) であるから  G/{\rm Ker}( \phi ) と H が同型となります。 

 

 

　後で自分でサッと思い出すために書いたので、詳細や証明は省きました。準同型定理については第一同型定理から第三同型定理まであるので、第二と第三は後日まとめます。以下、いくつか補足をします。

　 H が群 G の部分群であることを H \leq G と書き、特に正規部分群のとき H \triangleleft G と書きます。また、群 G,H が同型であることを G \cong H と書きます。

　 H を群 G の部分群とすると \vert G/H \vert = \vert H \backslash G \vert であり、これを ( G:H ) と書きます。このとき \vert G \vert = (G:H) \vert H \vert となります（ラグランジュの定理）。


　以上です。ここからは作用というものが登場して、前回学習をしたときはこの辺りから分からなくなり始めたので、多分次まではしばらく期間が開くと思います。
　ただ、演算が集合 A に対する写像 \phi : \, A \times A \to A であるのに対して、(左)作用は群 G と集合 A に対する写像 \psi : \, G \times X \to X であることを考えると、どこで挫折したのか。ベクトルにおけるベクトル加法とスカラー積の違いみたいなものですよね、多分。もしこの段階で混乱していたのだとすれば、案外すんなり理解できるかも？とりあえず次はシローの定理を目標に読み進めます。春休みももう終わるので、次いつ読めるか分かりませんが…。ではまた。