以前からオイラー関数 を何回反復させれば初めて になるのか興味がありました。特に明確な同機があるわけではないのですが、恐らく約一年前に書いた下の記事の内容がそれとやや関係しているからだったかもしれません。（関係ないですが、しばらく前に書いた…

高校時代は合同式と相加平均・相乗平均の大小関係が大好きでした。 それで、高校で普通合同式を使わずに解く問題も合同式を解きたいと思いました。そのために、一般的でない合同式の公式を証明します。 まずは合同式の定義と一般的な公式の証明をします。 こ…

オイラー関数の公式を証明したことなかったなと思ったので、証明します。多分あってると思うけど、間違ってたらすみません。 これは次のように証明します。 残りは簡単です。 これは次のように証明します。 これらを合わせると次のことが分かります。簡単な…

Wikipediaのオイラーのφ関数のサイト（オイラーのφ関数 - Wikipedia）に という不等式があり、面白いと思ったので証明してみました。証明してるサイトが見つからなかったので、誤りがあったらすみません。 なお、最後の方で以下のことを使いました。 という…

かなり初期に や を素数 で割り切れる回数について書いたのですが、かなり気に入ってるのでもう少し読みやすくできないかと思い、改めて紹介します。以下のことは認めることにしてください。 任意の素数 、 自然数 について、 ならば、 ある自然数 が存在し…

前回、高校で習う代表的な順列・組合せを見てきました。 natsu1014-brog.hatenablog.com 今回はより難しい問題について、スターリング数やベル数と呼ばれるものを使って考えていきます。 [補足(2021/02/21)] ちなみにスターリング数の「スターリング」は、階…

今回から順列・組合せの求め方を紹介していきます。なぜそんな初歩的なところから始めるかというと、ベル数とスターリング数について書きたいと思ったのですが、それらが組合せにおいて意味を持つため、基礎から順を追った方が良いと思ったからです。 今回は…

前回の続き…といっても前回の整数 x,y についての方程式と整数 X,Y についての方程式の解が対応していることを確認するだけです。 あとは整数 X,Y についての方程式の解が (±C_n,±F_n) だけであることを証明をすればOKです…が、多分そこがとんでもなく難しく…

何かの問題を解くか考察しているときに偶然遭遇した x²-y²+xy=1 という双曲線が通る第１象限の格子点を並べると(1,1),(2,3),(5,8),(13,21),…となりフィボナッチ数列が浮かび上がります。第４象限を見ると…,(-13,8),(-5,3),(-2,1),(-1,0)となり非正整数番に拡…

高校数学の教科書レベルの問題に次のようなものがあります。 「100!は3で何回割り切れるか。」 これは、 100÷3=33余り1 33÷3=11余り0 11÷3=3余り2 3÷3=1余り0 1÷3=0余り1 といった計算から、1から100までの整数に3,3²,3³,3⁴の倍数がそれぞ33,11,3,1個ずつ含…

今回は前回の正統な続きです。軽く振り返ると、前回は次の問題を解きました。 しかし、そのために、オイラーの定理から得られるある等式を使用しました。その等式はまだ証明していなかったので、今回はその証明をしていきます。前回は証明なしの（不完全な）…

気がつくともう午後９時を過ぎ、こんな記事を書いている場合ではないのかも知れないが、数学は僕の一部って感じなので、こんな時間でも記事を書き始めます。 今回は2021 ↑² 2021を99で割った余りを求めていきます。 恐らく「↑²ってなんだよ？」って思う方が…