良く知りたい関数たち。

　今回はガンマ関数、リーマンゼータ関数、そして素数計数関数について軽くまとめました。ただ、また想定以上に長くなり、画像の準備が大変になったので、画像に直接説明を書きました。

　まずガンマ関数です。これは、非負整数に定義される階乗を複素数の範囲に拡張したものです。

　補足するとΓ(3/2)=(1/2)×Γ(1/2)=sqrt(π)/2 であり、適切な表現ではありませんが (1/2)!=sqrt(π)/2 ということになります。また、これも適切な表現ではありませんが、Γ(i+1)≒0.498-0.155i は i!≒0.498-0.155i ということになります。

　次にリーマンゼータ関数です。これは有名なリーマン予想に直接かかわる関数です。

　1+2+3+…=-1/12 というのは僕の認識では解析接続というもので、実数関数 f(x) に対してある区間における値が完全に一致するような複素関数 g(z) はただ一つ存在して、g(z) により f(x) では定義されない x に対する f(x) を求めることが出来る、といった具合だと思います。複素関数についてはよく知らないので、興味がある人は自分で調べてください。

　最後に素数計数関数です。あまり聞きなれませんが、定義はシンプルです。

　π(x)>Li(x) となるような x の存在は、ガウスやリーマンですら予想していなかったというので驚きです。また、以前紹介した巨大数ほどではありませんが、スキューズ数は数学的に意味のある数としては最も大きいものの１つです。

　以上で今回は終わりです。ここ数日の更新で、紹介したいことは書き尽くしたので、次に何を書くか、次の更新がいつになるか、は未定です。が、また書きたくなるようなネタが見つかることを願います。ではまた。