√(1+x²)と放物線

　√(1+x²)の不定積分はいろいろな解き方があるんだなーと思ったのでまとめます。
　（１）は1+x²が見えるのでx=tanθとおくもの。これは自然な発想ですが、そのあとの1/cos³θの不定積分が大変。
　（２）はt=x+√(1+x²)というムリゲーな置換。でも思いつきさえすれば、高校範囲では一番簡単な方法のはず。
　（３）は大学範囲になりますが、t=sinh(t)とおけばかなり楽。ただ公式を多用します。

　ここで、ふと双曲線y=x²の長さを求めるのが意外と大変というのを思い出して計算してみると、√(1+4x²)の積分がでてきました。
　また、その後に斜方投射した小球が動く道のりも計算してみました。

　仮定は省略しますが、道のりの式をθで微分すると(2cosθ/g)(1-sinθlog(tanθ+1/cosθ))となるので、最大となるのはθ=0.9855くらいになります。度数法になおすと56.46°くらいになります（キリが悪い）。まあ、そんなに小球の道のりを最大にしたい場面なんてないですけどね。
　ではではー。