NTMRの数学メモ

数学について調べたことを書きます。高校数学に毛が生えた内容。

積分による対数関数の定義（３）

三角関数・指数対数関数

　正の実数 a に対して \exp_a 1 = \exp (\log a) = a が成り立ちます。ここで、自然対数の底 e を e := \exp 1 と定義し、これが極限による定義 e:= \displaystyle \lim_{h→0} (1+h)^{\frac{1}{h}} と同値であることを確かめます。

 

　 \log x の x=1 における微分係数は \frac{d}{dx}\log  x = \frac{1}{x} より 1 です。ここで、微分の定義より、

\displaystyle \lim_{h→0} \frac{\log (1+h) - \log 1}{h} \\ = \displaystyle \lim_{h→0} \log ( \exp_{1+h}{\frac{1}{h}} ) 

 　 e=\exp 1 より \log e =1 であるので、 e = \displaystyle \lim_{h→0} \exp_{1+h}{\frac{1}{h}} となります。

 

　逆に e:=\displaystyle \lim_{h→0} \exp_{1+h}{\frac{1}{h}} と定義すると、

\log e \\ = \displaystyle \lim_{h→0} \log ( \exp_{1+h}{\frac{1}{h}} ) \\ = \displaystyle \lim_{h→0} \frac{\log (1+h)}{h}  

 　ここで \frac{x}{1+x} \leq \log (1+x) \leq x であるから（証明略）、

\displaystyle \lim_{h→0} \frac{\frac{h}{1+h}}{h} \leq \displaystyle \lim_{h→0} \frac{\log (1+h)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h→0} \frac{h}{h}

 となるので、はさみうちの原理より \displaystyle \lim_{h→0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1

　すなわち \log e =1 \, \therefore e= \exp 1 

積分による対数関数の定義（２）

三角関数・指数対数関数

　対数関数による積分の定義は、指数が無理数の時の指数関数を極限により定義しなくて済みますが、一方で今のままでは底が e に固定されています。ですので、任意の底に対して指数関数・対数関数を定義したいです。

　そこで \exp_a{x}(=a^x) を \exp_a{x} := \exp{(x \log{a})} と定義します。すると、次の指数関数の性質

　 (5) \, \exp_{exp_a{b}}{c} = \exp_a{bc} \hspace{7pt} ( a は正の実数; b,c は実数)

　 (6) \, \exp_a{c} \cdot \exp_b{c} = \exp_{ab}{c} \hspace{7pt} ( a,b は正の実数; c は実数)

　 (7) \, \log ( \exp_a b) = b \log a \hspace{7pt} ( a は正の実数 ; bは実数)

を満たすことが証明できます。

【 (5) の証明】

  \exp_{exp_a{b}}{c} \\ = \exp(c \log(\exp_a{b})) \\ = \exp(c \log(\exp(b \log{a}))) \\ = \exp(cb \log{a}) \\ = \exp_a{bc}

 

【 (6) の証明】

\exp_a c \cdot \exp_b c \\ = \exp ( c \log a ) \cdot \exp ( c \log b ) \\ = \exp ( c \log a + c \log b) \\ = \exp ( c \log ab) \\ = \exp_{ab} c

 

【 (7) の証明】

\log ( \exp_a b) \\ = \log ( \exp (b \log a)) \\ =  b \log a

　また、このように定義した exp_a x が一般的な定義の指数関数 a^x と一致することは容易に確かめられます。

　底が e 以外の対数関数も考えるために y = \exp_a x の逆関数を求めると y = \frac{\log x}{\log a} となります。よって \log_a {x} := \frac{\log x}{\log a} と定義すると、これは次の性質

　 (8) \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \hspace{7pt} (a,b,c は正の実数; a,c≠1)

を証明できます。

【 (8) の証明】

\log_a b \\ = \frac{\log b}{\log a} \\ = \frac{\log b / \log c}{\log a / \log c} \\ = \frac{\log_c b}{\log_c a} 

 

積分による対数関数の定義（１）

三角関数・指数対数関数

　ガンマ関数やベータ関数などの関数は積分で定義されることは有名ですが、Twitterで（ e を底とする）対数関数も積分により定義され、指数関数はその逆関数として定義されることがあるという話を見かけたので、それについて少し考えてみようと思います。

 

　まず、基本的な指数関数・対数関数の定義は正の実数 a に対して a^x を指数関数と定義し、その逆関数 \log_a{x} を対数関数と定義します。ただここでネックなのは実数全体、特に無理数の x に対して a^x の定義を与えないといけないことです。これは、例えば a^\sqrt{2} は数列 a^1 , a^{1.4}, a^{1.41} , a^{1.414} \cdots の極限として定義されます。大して難しい話ではないでしょうが、そこが少し面倒かもしれません。

 

　一方、積分による定義を用いれば e を底とする対数関数 \log{x} は単に \log{x}=\int_1^x \frac{dt}{t} と定義できます。対数関数の性質

　 (1) \, \log{a}+\log{b}=\log{ab}

　 (2) \, \log{a}-\log{b} = \log{\frac{a}{b}}

は次のように証明できます（ a,b は正の実数）。

【 (1) の証明】

\log{a}+\log{b} \\ =\int_1^a \frac{dt}{t}+\int_1^b \frac{dt}{t}

第二項について t=\frac{u}{a} とおくと dt=\frac{1}{a}du で

\int_1^a \frac{dt}{t}+\int_1^b \frac{dt}{t} \\ = \int_1^a \frac{dt}{t}+\int_a^{ab} \frac{1/a}{u/a} du \\ =\int_1^a \frac{dt}{t}+\int_a^{ab} \frac{1}{u} du \\ = \int_1^{ab} \frac{dt}{t} \\ =\log{ab}

 

【 (2) の証明】

\log{a}-\log{b} \\ =\int_1^a \frac{dt}{t}-\int_1^b \frac{dt}{t}

第二項について t=\frac{a}{u} とおくと dt=-\frac{a}{u^2}du で

\int_1^a \frac{dt}{t}-\int_1^b \frac{dt}{t} \\ = \int_1^a \frac{dt}{t}-\int_{a}^{\frac{a}{b}} \frac{-a/u^2}{a/u} du \\ =\int_1^a \frac{dt}{t}+\int_a^{\frac{a}{b}} \frac{1}{u} du \\ = \int_1^{\frac{a}{b}} \frac{dt}{t} \\ =\log{\frac{a}{b}}

 　 e を底とする指数関数 \exp{x}はその逆関数として定義される、つまり x=\int_1^{\exp{x}} \frac{dt}{t} が成り立ちます。指数関数の性質

　 (3) \, \exp{a} \cdot \exp{b} = \exp(a+b)

　 (4) \, \frac{\exp{a}}{\exp{b}} = \exp(a-b)

は次のように証明されます（ a,b は正の実数）。

【[tex: (3) の証明】

\log(\exp{a} \cdot \exp{b}) = \log(\exp{a}) + \log(\exp{b}) = a+b = \log(\exp(a+b)) 

 

【tex: (4) の証明】

\frac{\exp{a}}{\exp{b}} = \log(\exp{a}) - \log(\exp{b}) = a-b = \log(\exp(a-b)) 

 　さて、対数関数の微分は言うまでもなく \frac{d}{dx} \log{x} = \frac{1}{x} ですから、指数関数の微分は \frac{d}{dx} \exp{x} = \frac{1}{\frac{d}{dy} \log{y}} = y = \exp{x} となります。

φ(n)σ(n)の不等式

場合の数・確率・整数・数列

　Wikipediaのオイラーのφ関数のサイト（オイラーのφ関数 - Wikipedia）に \frac{6n^2}{π^2} \lt φ(n)σ(n) \lt n^2 という不等式があり、面白いと思ったので証明してみました。証明してるサイトが見つからなかったので、誤りがあったらすみません。

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　なお、最後の方で以下のことを使いました。

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　 φ(n) \lt \frac{n^2}{σ(n)} というわけですが、何とかして σ(n) の範囲を n の式で表せないですかね。調べるか思いつくかしたらまた更新します。ではまた。

n! と mCn を素数 p で割り切れる回数（改訂版）

場合の数・確率・整数・数列

　かなり初期に n! や _m C^n を素数 p で割り切れる回数について書いたのですが、かなり気に入ってるのでもう少し読みやすくできないかと思い、改めて紹介します。以下のことは認めることにしてください。

任意の素数 p 、 自然数 n について、 p^m \leq n \leq p^{m+1}-1 ならば、

ある自然数 a_k \, (k=0,1,2,\cdots , m; \, 0 \leq a_k \leq p-1) が存在して

n=a_0 p^0 + a_1 p^1 + a_2 p^2 + \cdots + a_mp^m を満たす。

 　さて、上の n について n! を素数 p で割り切れる回数 v_p(n!) を求めるには、 n! を p, p^2, p^3, \cdots , p^m でそれぞれ割った商の総和を求めればよかったです。これを式で表すと次のようになります。

v_p(n!)={\displaystyle \sum_{l=1}^m \lfloor \frac{n}{p^l} \rfloor } 

 　しかし、このままでは \sum の計算ができないので、 \lfloor \frac{n}{p^l} \rfloor を何とか床関数を使わずに表せないか考えます。ここで  n=a_0 p^0 + a_1 p^1 + a_2 p^2 + \cdots + a_mp^m が役立ちます。

  {\large \lfloor \frac{n}{p^l} \rfloor \\ \large = \lfloor \frac{a_0 p^0 + a_1 p^1 + a_2 p^2 + \cdots + a_mp^m}{p^l} \rfloor \\ \large = \lfloor \frac{a_0 p^0 + a_1 p^1 + a_2 p^2 + \cdots + a_{l-1}p^{l-1}}{p^l}  + \frac{a_lp^l+a_{l+1}p^{l+1}+a_{l+2}p^{l+2}+ \cdots + a_mp^m}{p^l} \rfloor } 

 　ここで 0 \leq a_0 p^0 + a_1 p^1 + a_2 p^2 + \cdots + a_{l-1}p^{l-1} \lt p^l より 0 {\large \leq \frac{a_0 p^0 + a_1 p^1 + a_2 p^2 + \cdots + a_{l-1}p^{l-1}}{p^l}} \lt 1 であり、また、 {\large \frac{a_lp^l+a_{l+1}p^{l+1}+a_{l+2}p^{l+2}+ \cdots + a_mp^m}{p^l}} = a_lp^0+a_{l+1}p^1+a_{l+2}p^2+ \cdots +a_mp^{m-l} よりこれは整数であるから、

   {\large \lfloor \frac{n}{p^l} \rfloor \\ \large = \lfloor \frac{a_0 p^0 + a_1 p^1 + a_2 p^2 + \cdots + a_{l-1}p^{l-1}}{p^l}  + \frac{a_lp^l+a_{l+1}p^{l+1}+a_{l+2}p^{l+2}+ \cdots + a_mp^m}{p^l} \rfloor \\ = a_lp^0+a_{l+1}p^1+a_{l+2}p^2+ \cdots +a_mp^{m-l}}

 　したがって、

  v_p(n!) \\ ={\displaystyle \sum_{l=1}^m \lfloor \frac{n}{p^l} \rfloor } \\ = {\displaystyle \sum_{l=1}^m a_lp^0+a_{l+1}p^1+a_{l+2}p^2+ \cdots +a_mp^{m-l}} \\ = (a_1p^0+a_2p^1+a_3p^2+ \cdots a_mp^{m-1}) \\ \hspace{7pt} + (a_2p^0+a_3p^1+ a_4p^2+ \cdots a_mp^{m-2}) \\ \hspace{7pt} + (a_3p^0+a_4p^1+ a_5p^2+ \cdots a_mp^{m-3}) \\ \hspace{7pt} + \cdots + a_mp^0 \\ = a_1p^0+a_2(p^0+p^1)+a_3(p^0+p^1+p^2) \\ \hspace{7pt} + \cdots + a_m(p^0+p^1+p^2+ \cdots + p^{m-1}) \\ = a_1 \frac{p^1-1}{p-1}+a_2 \frac{p^2-1}{p-1} +a_3 \frac{p^3-1}{p-1} + \cdots + a_m \frac{p^m-1}{p-1} \\ = {\large \frac{a_1(p^1-1)+a_2(p^2-1)+a_3(p^3-1)+ \cdots +a_m(p^m-1)}{p-1}} \\ = {\large \frac{(a_0p^0+a_1p^1+a_2p^2+ \cdots +a_mp^m)-(a_0+a_1+a_2+ \cdots +a_m)}{p-1}} \hspace{7pt} \because a_0p^0=a_0 

 　 n=a_0p^0+a_1p^1+a_2p^2+ \cdots +a_mp^m であるから、 n を p 進法表記したときの各位の数の和を s_p(n) とおくと、 

v_p(n!)= {\large \frac{n-s_p(n)}{p-1}} 

 　これをルジャンドルの定理といいます。さらに、これを使うことで _m C_n を p で割った余りを考えることができます。 _m C_n = \frac{m!}{(m-n)!n!} より、

  v_p( _m C_n) \\ = v_p(m!) - v_p( (m-n) !) - v_p(n!) \\ = {\large \frac{(m-s_p(m))-\{ (m-n)-s_p(m-n)\} - (n-s_p(n))}{p-1}} \\ = {\large \frac{s_p(m-n)+s_p(n)-s_p(m)}{p-1}}

 　ここで m-n と n を p 進法表記して足し算した時、繰り上がりした回数を k 回とすると、 s_p(m-n)+s_p(n)-s_p(m)=k(p-1) となるので、

   v_p( _m C_n) = \frac{k(p-1)}{p-1} =k

 　すなわち、 _mC_n を素数 p で割り切れる回数は、 m-n と n を p 進法表記して足し算した時、繰り上がりした回数に等しい。これをクンマーの定理といいます。

関数について

その他

　関数についてとりとめのないことをアレコレ考えて、何となくブログを書きたくなったので大した内容ではないですが書きなぐろうかと思います。

 

関数の分類の話

　初めはある程度テーマを絞ろうと思い、関数の分類を整理するブログを書いていたのですが、思った以上に難しかったので断念しました。ただ、初等関数と呼ばれる関数のグループには f(x)=x^a の形で表される冪関数と、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数を指す初等超越関数があり、それらの有限回の和、差、積、商、冪により表される関数全体を初等関数をいうようで。

　何が言いたいかというと、高校で扱うような指数関数、対数関数、三角関数、そしてそれらの派生である逆三角関数、双曲線関数、逆双曲線関数ってどれもキレイに繋がっています。それらがひっくるめて初等超越関数というカテゴリに入れられていて、なんかスッキリしたという話です。どうでもいいですね 笑

　ちなみに、特殊関数という分類もあって、僕は勘違いしていたのですが、これらは別に初等関数を含まないわけではないようです。ちなみに過去に紹介した特殊関数には、 y=xe^x の逆関数であるランベルトのW関数 {\rm W}(z)、階乗の拡張であるガンマ関数 {\rm Γ} (z)= {\displaystyle \int_0^∞ t^{z-1}e^{-t}dt}、素数計数関数の近似となる対数積分 {\rm Li}(x)=\int_2^x {\large \frac{dt}{\log{t}}} があります。

 

逆三角関数の表記の話

　逆三角関数の表記には主に２種類あります。それは \cos^{-1}x のように -1 を添える方法と \arccos x のように {\rm arc-} をつける方法です。どちらを採用するかは個人の好みでしょうが、恐らく「 -1 乗と混同しないか」と「書きやすさ」が大きな決め手となっています（勿論、他にも持っている教科書がどちらを採用してるか、というのもあるでしょうが）。

　ですが、僕が先日買った教科書には {\rm Cos}^{-1}x という表記が採用されていました。この表記自体は「逆関数であることを強調するために \cos^{-1} の頭文字を大文字にする」という説明とともに紹介されているのを見たことがあったのですが、この教科書は理由が異なりました。何かというと「 \cos x=a \, (-1 \leq a \leq 1) を満たす x は無数に存在するので、そのうち主値をとるものという意味を込めて頭文字を大文字にする」というものでした。これは \log z と {\rm Log} z の違いのようで、すごくスッキリしました。

　Wikipedia では「頭文字を大文字にするのは主値を表すときに使うので～」と否定的だったので、受け入れられない人もいるようですが、少なくとも僕はこの表記を積極的に使いたいと思いました。

 

指数関数の表記

　指数関数 f(x)=e^x は別の表記で \exp x と表されることがあります。ところで、 a を底とする対数は \log_a x と表されますが、特に数学では自然対数は単に \log x と表されます。

　では逆に、 a を底とする指数関数は \exp_a x と表されないのか？と考え、調べてみると実際にありました。たとえば \exp_{10} x = 10^x となります。

　ここからさらに想像を広げると \cosh x = {\Large \frac{e^x + e^{-x}}2} に対して \cosh_a x = {\Large \frac{a^x+a^{-x}}2} という表記は作れないか？と考えました。もしこれを採用すれば、高校でたまによく見る {\Large \frac{2^x+2^{-x}}2} は \cosh_2 x と表せるようになります。それで、気になって早速調べてみました。その結果、流石に見つかりませんでした 笑

　指数関数や対数関数は兎も角、それらの派生と言える三角関数や双曲線関数の底を変えるというのは、実用性がないただの数字遊びでしょうから、このような表記がないのは当然かも知れません。

放置してた極限の問題について。

極限・微積

　かなり過去の記事で I=\int_0^1(n+m)\,{\rm mod}\,n\,dn というのを考えていました。

natsu1014-brog.hatenablog.com

　最終的に I=- \frac{m^2}2 \left( ζ(2)- \sum_{k=1}^{\lfloor m \rfloor} \frac{1}{k^2} \right) +m- \frac{\lfloor m \rfloor}2 を得て、これは \displaystyle\lim_{m→∞}I=\frac{1}4 となるのではないかという予想をしたのですが、結局証明できないままになっていました。しかし昨夜、ふと思い出して考察したところやや進展(？)があったので、ここに残そうと思います。

 

\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor} の近似

　問題はこの部分です。\large\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots という無限級数が \frac{π^2}6 に収束することはバーゼル問題として知られていますが、部分和 \large\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots + \frac{1}{n^2} を簡潔に表す式は知られていません。

　ですが、今は詳細な値が分からなくても極限が計算できればよいので、たとえばはさみうちの原理を使えばよいのではないかと考えました。

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　上の赤、青、緑のグラフはそれぞれ y=\sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \frac{1}{k^2},\,y=\frac{1}{x^2},\,y=\frac{1}{(x-1)^2} を表しています。ここで、平方数の逆数和は赤色の領域の面積になります。ですから、次の等式が成り立つはずです。

　　\int_1^{\lfloor k \rfloor} \frac{1}{x^2} dx \lt \sum_{n=1}^{\lfloor k \rfloor} \frac{1}{n^2} \lt 1+ \int_2^{\lfloor k \rfloor} \frac{1}{(x-1)^2} dx

　実際にグラフにしてみると、確かに挟んでいることを分かります。

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　しかし、挟めてるとはいえ微妙な精度です。一応、I を挟めるか試してみますが……

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　これはひどい。ここまで振る舞いが変わるものなのですね。

 

収束値の補正

　無知ながら、なぜこんなことが起きたのか考えると、やはり平方数の逆数の部分和を挟む時点で収束値がズレすぎていたせいではないかと思いました。そういえばオイラーの定数と呼ばれる \displaystyle γ=\lim_{n→∞} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}k -{\rm ln}(n) \right) ≒0.5772 は調和級数（自然数の逆数和）の近似とのズレを表すものでした。では、平方数の逆数和の場合にもこういうものがあるのでは？と考え、オイラーの定数と同様にズレを計算したところ、次のようになりました。

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　当然ながらズレはある値に収束するようですが、その収束先と考えられる青い線は実は y=\frac{π^2}{6}-1 です。証明方法は知りませんが、とりあえずこれを信じて、平方数の逆数の部分和を下から押さえる関数を補正すると次の通りになりました。

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　収束値が一致するのは当然ですが、これはなかなかの精度で \sum_{n=1}^{\lfloor k \rfloor} \frac{1}{n^2} の精度といえるのではないでしょうか。これを用いて I を近似してみましょう。

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　完ぺきとは程遠いですが、先ほどまでの荒ぶり方と比べたらだいぶおとなしくなりました。ちなみに、この近似は 0 に収束することは案外簡単に示せます。なぜなら少し変形すると y=- \frac{(x-\lfloor x \rfloor)^2}{2\lfloor x \rfloor} と表され、分子は 0 以上 1 未満であるからです。

 

お手上げ

　さて、だいぶ近づいてきましたがここで行き詰ってしまいました。もう残りは結果ありきの考察になってしまいますが、さらに \sum_{n=1}^{\lfloor k \rfloor} \frac{1}{n^2} の精度を上げるとなると、近似式に \int_{\lfloor k \rfloor}^{\lfloor k \rfloor +1} \frac{1}{x^2}dx を加えることを思いつきます。（たとえば \lfloor x \rfloor =3 のとき下の領域の面積です。）

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　しかし、この近似式は収束値の補正のために \frac{π^2}6 を加えてあるので、これだと明らかに超過してしまいます。なので、これをそのまま加えるのではなく、二分の一倍して加えてみましょう。すると、近似式は y=\frac{π^2}6-\frac{1}{\lfloor x \rfloor}+\frac{1}{2\lfloor x \rfloor \left( \lfloor x \rfloor +1 \right) } となり、グラフは次の青線のようになります。

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　修正前が紫線だったので、かなり精度が上がっているように感じます。そして、これによって I=- \frac{m^2}2 \left( ζ(2)- \sum_{k=1}^{\lfloor m \rfloor} \frac{1}{k^2} \right) +m- \frac{\lfloor m \rfloor}2 を近似し、グラフにすると次のようになりました。

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　だんだん近づいているのが分かります。そして、これが \frac{1}4 に収束することは次の計算から簡単に分かります。

　　- \frac{m^2}2 \left[ ζ(2)- \left( \frac{π^2}6-\frac{1}{\lfloor m \rfloor}+\frac{1}{2\lfloor m \rfloor \left( \lfloor m \rfloor +1 \right) } \right) \right] +m- \frac{\lfloor m \rfloor}2 \\ =\frac{m^2}{4 \lfloor m \rfloor \left( \lfloor m \rfloor +1 \right)}- \frac{m^2-2m \lfloor m \rfloor + \lfloor m \rfloor ^2}{2 \lfloor m \rfloor} \\ ={\large \frac{1}{4 \frac{\lfloor m \rfloor}m \left( \frac{\lfloor m \rfloor}m +\frac{1}m \right)}-\frac{\left( m- \lfloor m \rfloor \right)^2}{2\lfloor m \rfloor}} \\ → \frac{1}4 \hspace{10pt} \left( m→∞ \right)

 

　一応それっぽい近似式作って、欲しい結果も得られたので、まだ何かするとすれば証明くらいでしょう。でも、なんだか難しそうなので、僕にできるのはここまででしょう。まあ、何か進展があればまた書きます。もし間違いがあったり証明方法を知っている方がいればコメントお願いします。

　では今回はこのへんで。　おわり